数据库原理

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关系数据库 ​

本章学习目标 ​

  • 理解关系数据结构及形式化定义
  • 掌握关系操作集合
  • 理解关系的完整性
  • 掌握关系代数的基本操作

2.1 关系数据结构及形式化定义 ​

2.1.1 关系 ​

域（Domain）

  • 域是一组具有相同数据类型的值的集合
  • 例如：整数、实数、字符串、日期等

笛卡尔积（Cartesian Product）

  • 给定一组域D₁, D₂, ..., Dₙ，这些域的笛卡尔积为： D₁ × D₂ × ... × Dₙ = {(d₁, d₂, ..., dₙ) | dᵢ ∈ Dᵢ, i = 1, 2, ..., n}

关系（Relation）

  • D₁ × D₂ × ... × Dₙ的子集叫做在域D₁, D₂, ..., Dₙ上的关系
  • 表示为R(D₁, D₂, ..., Dₙ)
  • 关系中的每个元素(d₁, d₂, ..., dₙ)叫做一个n元组（n-tuple）

2.1.2 关系模式 ​

关系模式（Relation Schema）

  • 关系模式是对关系的描述
  • 一般表示为：R(U, D, DOM, F)
    • R：关系名
    • U：组成该关系的属性名集合
    • D：属性组U中属性所来自的域
    • DOM：属性向域的映象集合
    • F：属性间数据的依赖关系集合

简化表示： R(A₁, A₂, ..., Aₙ)

2.1.3 关系数据库 ​

关系数据库

  • 在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库

关系数据库模式

  • 对关系数据库的描述
  • 是若干个关系模式的集合

2.2 关系操作 ​

2.2.1 基本关系操作 ​

查询操作：

  • 选择（Selection）
  • 投影（Projection）
  • 连接（Join）
  • 除（Division）
  • 并（Union）
  • 差（Difference）
  • 交（Intersection）
  • 笛卡尔积（Cartesian Product）

数据更新操作：

  • 插入（Insert）
  • 删除（Delete）
  • 修改（Update）

2.2.2 关系操作的特点 ​

  • 集合操作方式：操作的对象和结果都是集合
  • 一次一集合的方式：一次操作多个元组

2.3 关系的完整性 ​

2.3.1 实体完整性（Entity Integrity） ​

规则： 若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值

说明：

  • 主属性：包含在任何一个候选码中的属性
  • 主码的属性不能为空值（NULL）
  • 这是最基本的完整性约束

2.3.2 参照完整性（Referential Integrity） ​

外码（Foreign Key）

  • 设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码
  • 如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是基本关系R的外码

参照完整性规则： 若属性（或属性组）F是基本关系R的外码，它与基本关系S的主码Ks相对应，则对于R中每个元组在F上的值必须为：

  • 或者取空值（F的每个属性值均为空值）
  • 或者等于S中某个元组的主码值

2.3.3 用户定义的完整性（User-defined Integrity） ​

  • 针对某一具体关系数据库的约束条件
  • 反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求

2.4 关系代数 ​

2.4.1 传统的集合运算 ​

并（Union）∪ ​

定义： R ∪ S = {t | t ∈ R ∨ t ∈ S}

适用条件： R和S必须是相容关系（属性个数相同，且对应属性来自同一域）。

性质： 交换律、结合律、幂等律都成立。

差（Difference）− ​

定义： R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S}

适用条件： R和S必须相容；该操作不具交换性。

交（Intersection）∩ ​

定义： R ∩ S = {t | t ∈ R ∧ t ∈ S}

推导： R ∩ S 可以由差运算推导得到：R ∩ S = R − (R − S)。

笛卡尔积（Cartesian Product）× ​

定义： R × S = {tr ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S}

意义： 为连接运算奠定基础；结果关系包含来自两个关系的所有属性，元组数为 |R| × |S|。

2.4.2 专门的关系运算 ​

选择（Selection）σ ​

定义： σF(R) = {t | t ∈ R ∧ F(t) = 真}

典型谓词： 比较运算（=, ≠, >, <, ≥, ≤）、逻辑联结（∧, ∨, ¬）、集合测试（IN, BETWEEN）。

性质： 可分解（σF1∧F2(R) = σF2(σF1(R)))；交换律在相同关系上成立。

投影（Projection）π ​

定义： πA(R) = {t[A] | t ∈ R}

作用： 从关系R中选出若干属性列，并自动去除重复元组。

注意： 投影不会保留属性的原顺序要求；必要时通过重命名保持语义。

连接（Join）⋈ ​

θ连接： R ⋈A θ B S = {tr ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S ∧ tr[A] θ ts[B]}。

等值连接： θ 为 "=" 的特殊情况。

自然连接： 在等值连接基础上自动去除重复的同名属性列，可表示为 R ⋈ S。

外连接： 为保留未匹配元组引入空值，可分为左外连接（⟕）、右外连接（⟖）、全外连接（⟗）。

除（Division）÷ ​

定义： 设关系R(X, Y) 除以关系S(Y) 的结果为 T(X)，其中 X 为 R 中除 Y 外的属性集合，则：

T = {t[X] | t ∈ R 且 ∀s ∈ S, (t[X], s) ∈ R}。

用途： 表达“至少包含 S 的全部元素”的查询，如“选修了所有必修课的学生”。

重命名（Rename）ρ ​

记号示例： ρSno→StudentID(Student) 或 ρX(A,B←C,D)(R)。

作用： 解决属性重名冲突、辅助复杂表达式的书写，也是递归定义查询表达式的基础。

2.4.3 关系代数表达式的构造 ​

关系代数表达式是由基本运算符组合而成的有向无环图（DAG）。构造时通常遵循“先代数化、后优化、再求值”的流程。

  • 联合表达式： 可用括号显式指定执行顺序，默认为左结合。
  • 赋值/命名： 可记作 Temp ← Student ⋈ SC，用来拆分复杂查询。
  • 表达式图： 常以查询树或查询图形式展示，便于优化器分析。

2.4.4 查询树与执行思路 ​

  • 查询树自下而上表示运算顺序；叶节点为基本关系，内节点为运算符。
  • 优化时优先“下推选择、合并同类项、减少中间结果”。
  • 逻辑执行顺序：σ → ⋈ → π，以缩减数据量并提升效率。

2.4.5 常用代数恒等式 ​

序号恒等式含义
1σF1∧F2(R) = σF1(σF2(R))选择分解
2πX(πY(R)) = πX(R) (X ⊆ Y)投影冗余
3σF(R ⋈ S) = σF(R) ⋈ S （F 仅涉及 R）选择下推
4R ⋈ S = S ⋈ R连接交换
5(R ⋈ S) ⋈ T = R ⋈ (S ⋈ T)连接结合
6R ∩ S = R − (R − S)交的推导
7R ∪ (S ∩ T) = (R ∪ S) ∩ (R ∪ T)分配律

应用： 借助等价变换降低中间结果体积、简化表达式、指导索引选择。

2.4.6 扩展与派生运算 ​

  • 半连接（▷◁）： 仅返回参与匹配的左（或右）侧元组，用于减少传输成本。
  • 反连接： 类似集合差，返回未匹配元组。
  • 外连接（⟕, ⟖, ⟗）： 保留未匹配元组并用 NULL 填补缺失属性。
  • 聚合与分组（γ）： γSdept;AVG(Sage)→AvgAge(Student) 表示按系分组求平均年龄。
  • 递归闭包： 在路径查询、层次结构遍历中使用，以求某关系的传递闭包（如祖先/后代查询）。

2.4.7 综合案例：多运算组合 ​

需求：“查询选修了所有编号为 {1,3} 课程且平均成绩不低于 85 分的学生姓名与平均分。”

解析步骤：

  1. 获取目标课程集： 定义集合 C = {1, 3}，视作关系 Required(Cno)。
  2. 找出满足全集条件的学生： Temp ← πSno(σCno∈C(SC)) ÷ Required。
  3. 计算平均成绩： Score ← γSno;AVG(Grade)→AvgGrade(SC)。
  4. 筛选成绩： HighScore ← σAvgGrade≥85(Score)。
  5. 合并学生信息： Result ← πSname,AvgGrade((Temp ⋈ Sno Sno= Sno HighScore) ⋈ Sno Sno= Sno Student)。

结果解释： 通过除运算保证“全集匹配”，再与聚合结果交集，最终返回符合业务规则的学生名单及平均成绩。

关系代数运算示例 ​

示例数据 ​

学生关系 Student(Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept)

SnoSnameSsexSageSdept
001李勇男20CS
002刘晨女19CS
003王敏女18MA

课程关系 Course(Cno, Cname, Cpno, Ccredit)

CnoCnameCpnoCcredit
1数据库54
2数学2
3信息系统14

运算示例 ​

  1. 选择操作： 查询计算机科学系的学生 σSdept='CS'(Student)

  2. 投影操作： 查询学生的姓名和年龄 πSname,Sage(Student)

  3. 连接操作： 查询每个学生的选课情况 Student ⋈ SC ⋈ Course

学习检查点 ​

  • [ ] 理解域、关系、关系模式的概念
  • [ ] 掌握关系的三类完整性约束
  • [ ] 熟练使用关系代数的基本运算
  • [ ] 能够用关系代数表达式解决实际问题

练习题 ​

  1. 设有关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，计算R∪S、R∩S、R-S
  2. 用关系代数表达式表示下列查询：
    • 查询年龄大于19岁的学生姓名
    • 查询选修了课程号为"1"的课程的学生学号
    • 查询计算机科学系学生选修的课程号

相关概念图 ​

关系数据库
├── 关系数据结构
│   ├── 域
│   ├── 关系
│   └── 关系模式
├── 关系操作
│   ├── 查询操作
│   └── 更新操作
├── 关系完整性
│   ├── 实体完整性
│   ├── 参照完整性
│   └── 用户定义完整性
└── 关系代数
    ├── 传统集合运算
    └── 专门关系运算

上一章： 第1章 数据库系统概述
下一章： 第3章 关系数据库标准语言SQL

数据库原理课程学习笔记

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